Đo khoảng cách bằng tốc độ ánh sáng

Ở bài trước, mỗi vệ tinh đã hô xuống “tôi đang ở đây, và bây giờ đúng là giờ này”. Còn thiếu một mảnh: vệ tinh đó cách ta bao xa? Biết được khoảng cách rồi thì ta sắp tìm ra vị trí.

Mẹo đo khoảng cách này mèo con đã làm mà không để ý: thấy tia chớp rồi đếm tới lúc nghe tiếng sấm. Đếm được mấy giây, nhân với tốc độ âm thanh là ra tia sét cách bao xa. GPS dùng đúng ý đó, chỉ thay âm thanh bằng tín hiệu vô tuyến chạy với tốc độ ánh sáng.

Tín hiệu vô tuyến đi với tốc độ ánh sáng - khoảng 300.000 km mỗi giây. Nếu biết tín hiệu bay từ vệ tinh xuống mất bao lâu (gọi là time-of-flight), chỉ việc nhân với tốc độ đó là ra khoảng cách. Cho máy bấm thử hai con số:

c = 299792458   # toc do anh sang trong chan khong (m/s)

# 1 phan ti giay (nanosecond) thi tin hieu di duoc bao xa?
print(f"1 ns     -> {c * 1e-9:.2f} m")

# Tin hieu tu ve tinh ngay tren dinh dau (cao 20200 km) bay mat bao lau?
khoang_cach = 20200 * 1000        # met
print(f"20200 km -> {khoang_cach / c * 1000:.1f} ms")

1 ns     -> 0.30 m
20200 km -> 67.4 ms

• ▸Tín hiệu đi bằng tốc độ ánh sáng (~300.000 km/s).
• ▸Khoảng cách = tốc độ ánh sáng × thời gian bay.
• ▸Vệ tinh trên đỉnh đầu (~20.200 km) thì tín hiệu tới sau ~67 mili-giây.

Đây là lúc dùng lại hai món của bài trước. Vệ tinh đóng dấu thời điểm gửi vào tín hiệu (nhờ đồng hồ nguyên tử); máy thu biết thời điểm mình nhận được. Lấy hiệu hai mốc thời gian là ra thời gian bay:

• ▸Thời gian bay = thời điểm nhận − thời điểm gửi.
• ▸Vệ tinh ghi sẵn thời điểm gửi vào trong tín hiệu.
• ▸Mã PRN giúp máy thu khớp đúng thời điểm tới từng phần triệu giây.

Nghe đơn giản, nhưng có một cái bẫy: hai mốc thời gian đó phải đo bằng đồng hồ khớp nhau. Vệ tinh có đồng hồ nguyên tử xịn, còn máy thu thì không.

Vì nhân với tốc độ ánh sáng, một sai lệch thời gian bé tí cũng phóng đại thành sai khoảng cách lớn. Xem đồng hồ máy thu lệch vài micro-giây (phần triệu giây) thì khoảng cách sai bao nhiêu:

c = 299792458

# Dong ho may thu lech mot chut -> sai khoang cach bao nhieu met?
for lech_us in [1, 10, 100]:       # do lech dong ho, don vi micro-giay (us)
    sai_m = c * lech_us * 1e-6
    print(f"lech {lech_us:>3} us  ->  sai {sai_m:9.1f} m")

lech   1 us  ->  sai     299.8 m
lech  10 us  ->  sai    2997.9 m
lech 100 us  ->  sai   29979.2 m

Lệch 1 micro-giây đã sai gần 300 mét! Đó là lý do đồng hồ trong GPS phải chuẩn tới từng nano-giây - và là lý do máy thu rẻ tiền không thể tự đo khoảng cách thật một cách hoàn hảo.

Vì đồng hồ máy thu chưa chuẩn, con số khoảng cách nó đo được không phải khoảng cách thật, mà lệch đi một chút. Dân kỹ thuật gọi nó là pseudorange (khoảng cách giả). Nghe nản, nhưng có một điểm cứu cánh:

Giờ mèo con đo được khoảng cách (dù là “giả”) tới từng vệ tinh. Một khoảng cách tới một vệ tinh nghĩa là bạn nằm đâu đó trên một mặt cầu bao quanh vệ tinh đó. Một mặt cầu thì rộng mênh mông - nhưng nhiều mặt cầu giao nhau sẽ khoá lại còn đúng một điểm.