Sai số & hiệu chỉnh

Ở bài trước, ta giả định mọi khoảng cách đo được đều chính xác, nên ba vòng tròn giao đúng một điểm. Thực tế thì mỗi khoảng cách lệch đi một chút - thế là ba vòng không giao gọn vào một điểm nữa, mà thành một vùng nhoè nhoè. Đó là lý do chấm xanh có lúc đứng yên, có lúc nhảy loạn.

Bài này điểm mặt từng thủ phạm làm khoảng cách lệch, rồi xem cách kéo sai số xuống.

• ▸Trilateration cần khoảng cách chuẩn; sai một chút là giao điểm nhoè.
• ▸Thủ phạm: khí quyển, tín hiệu dội, hình học vệ tinh, đồng hồ & quỹ đạo.
• ▸Có nhiều cách hiệu chỉnh, từ vài mét xuống tới centimet.

Tín hiệu phải xuyên qua khí quyển mới tới được mèo con. Tầng điện ly (ionosphere) và tầng đối lưu (troposphere) làm tín hiệu chậm lại một chút. Mà chậm lại nghĩa là thời gian bay đo được lâu hơn thật, nên khoảng cách tính ra dài hơn thực tế - sai số lớn nhất với GPS dân dụng.

Tín hiệu không phải lúc nào cũng đi thẳng. Nó dội khỏi tường nhà cao tầng, mặt nước, sườn núi… rồi mới tới máy thu - đi đường vòng nên dài hơn thật. Hiện tượng này gọi là multipath (đa đường).

Giữa rừng nhà chọc trời, multipath nặng thêm mà nhiều vệ tinh lại bị nhà che mất, nên chấm xanh nhảy loạn - dân định vị gọi là “hẻm núi đô thị” (urban canyon). Ra chỗ thoáng trời thì khá hơn nhiều.

Một thủ phạm tinh vi hơn: vệ tinh đứng ở đâu trên trời. Cùng một sai số đo khoảng cách, nếu các vệ tinh trải rộng khắp bầu trời thì vị trí ra khá chuẩn; nếu chúng chụm lại hay gần thẳng hàng thì sai số bị khuếch đại. Thử bằng đúng thuật toán trilateration của bài trước:

import math

def trilaterate(c1, c2, c3):
    def k(c): return c[0]**2 + c[1]**2 - c[2]**2
    a1, b1, d1 = 2*(c2[0]-c1[0]), 2*(c2[1]-c1[1]), k(c2)-k(c1)
    a2, b2, d2 = 2*(c3[0]-c1[0]), 2*(c3[1]-c1[1]), k(c3)-k(c1)
    det = a1*b2 - a2*b1
    return ((d1*b2 - d2*b1)/det, (a1*d2 - a2*d1)/det)

def thu(ten, sats, dich, e):
    cs = [(sx, sy, math.dist((sx, sy), dich) + e) for (sx, sy) in sats]
    p = trilaterate(*cs)
    print(f"{ten}: sai vi tri {math.dist(p, dich):.2f} (moi canh do du {e})")

dich = (8, 8)
tot = [(0, 0), (18, 3), (6, 18)]    # ve tinh trai rong -> hinh hoc TOT
xau = [(0, 0), (16, 2), (32, 5)]    # ve tinh gan thang hang -> hinh hoc XAU
thu("Hinh hoc TOT", tot, dich, 0.5)
thu("Hinh hoc XAU", xau, dich, 0.5)

Hinh hoc TOT: sai vi tri 0.03 (moi canh do du 0.5)
Hinh hoc XAU: sai vi tri 7.82 (moi canh do du 0.5)

Cùng sai số đo 0,5 mỗi cạnh, hình học tốt chỉ lệch 0,03, hình học xấu lệch tới 7,82 - gấp hàng trăm lần! Chỉ số đo độ “đẹp/xấu” này tên là DOP (Dilution of Precision). Bạn có thể thấy tận mắt: mở lại mô phỏng ở Bài 4 và kéo ba vệ tinh sát nhau, giao điểm sẽ “nhoè” và trượt đi rất nhạy.

Mỗi nguồn góp một ít. Vì chúng phần lớn độc lập, ta gộp theo kiểu “căn bình phương” (RSS) chứ không cộng thẳng:

import math

# Sai so dien hinh cua mot phep do khoang cach toi ve tinh (met)
nguon = {
    "Tang dien ly (ionosphere)":  5.0,
    "Dong ho & quy dao ve tinh":  2.0,
    "Tin hieu doi (multipath)":   1.0,
    "Tang doi luu (troposphere)": 0.5,
    "Nhieu trong may thu":        0.5,
}
for ten, m in nguon.items():
    print(f"  {ten:28} ~ {m:>4.1f} m")
rss = math.sqrt(sum(m * m for m in nguon.values()))
print(f"  {'Gop lai (can binh phuong)':28} ~ {rss:>4.1f} m")

  Tang dien ly (ionosphere)    ~  5.0 m
  Dong ho & quy dao ve tinh    ~  2.0 m
  Tin hieu doi (multipath)     ~  1.0 m
  Tang doi luu (troposphere)   ~  0.5 m
  Nhieu trong may thu          ~  0.5 m
  Gop lai (can binh phuong)    ~  5.5 m

Muốn nhỏ hơn vài mét thì cần hiệu chỉnh:

• ▸DGPS: trạm mặt đất biết rõ vị trí mình, đo sai số rồi phát “đính chính” cho máy gần đó.
• ▸SBAS (WAAS ở Mỹ, EGNOS ở châu Âu): vệ tinh tăng cường phát đính chính cho cả một vùng rộng.
• ▸RTK: dùng pha sóng mang cùng trạm tham chiếu gần, đạt độ chính xác cỡ centimet.

Tóm lại: trilateration cho vị trí, nhưng khí quyển, multipath và hình học vệ tinh làm nó lệch vài mét; DGPS/SBAS/RTK kéo xuống tới dưới mét, thậm chí centimet. Dù vậy, mọi cách trên vẫn cần một thứ: nhìn thấy bầu trời.